Kettingregel

Alsof de kettingfunctie en de afgeleide nog niet moeilijk genoeg zijn, bestaat er ook nog zoiets als de afgeleide van een kettingfunctie. Volg je het nog? Niet getreurd! Om jou dit te helpen begrijpen is de kettingregel in het leven geroepen. Daar gaan we in dit artikel eens goed naar kijken.

Wat is de kettingregel?

De kettingregel vertelt ons hoe we de afgeleide van een kettingfunctie kunnen vinden. De kettingregel zegt dat de afgeleide van de kettingfunctie de binnenste functie g(x) is binnen de afgeleide van de buitenste functie f ′(x), vermenigvuldigd met de afgeleide van de binnenste functie g′(x). Dit klinkt natuurlijk gigantisch moeilijk, dus we gaan het in dit artikel stap voor stap uitleggen. De algemene formule van de kettingregel luidt als volgt:

Wat is een kettingfunctie?

Een functie is een kettingfunctie als je deze kunt schrijven als f(g(x)). Met andere woorden: het is een functie binnen een functie, oftewel een functie van een functie. Je noemt f(x) de buitenste functie en g(x) de binnenste functie. Neem als voorbeeld de kettingfunctie cos(x²). Cos staat hier voor cosinus. Dit is een kettingfunctie, omdat f(x) = cos(x) en g(x) = x². Dus cos(x²) is te herkennen in de functie f(g(x)).

Aan de andere kant is bijvoorbeeld de functie cos(x) × x² geen kettingfunctie. Het is namelijk het product van f(x) = cos(x) en g(x) = x².

Voorbeelden van uitwerkingen van de kettingregel

Hieronder kun je enkele voorbeelden zien hoe de kettingregel wordt toegepast. Maar eerst laten we je ter ondersteuning nog enkele basisregels van differentiëren zien voor onder andere lineaire functies en wortelfuncties. Houd daarnaast natuurlijk altijd de standaard voorrangsregels in de wiskunde in de gaten.

Voorbeeld 1

Neem als voorbeeld de functie h(x) = (5 - 6x)⁵. Merk op dat h een kettingfunctie is, met de 'buitenste' functie f(x) = x⁵ en de 'binnenste' functie g(x) = 5 – 6x. Omdat h een kettingfunctie is, kunnen we deze dus differentiëren door de kettingregel te gebruiken. Voordat we de regel toepassen zoeken we eerst de afgeleiden van de innerlijke en uiterlijke functies:

g’(x) = -6

f’(x) = 5x⁴

Vervolgens passen we de kettingregel toe:

= f’(g(x)) × g’(x)

= 5 × (5 – 6x)⁴ × -6

= -30 × (5 – 6x)⁴

Voorbeeld 2

Neem als voorbeeld de functie h(x) = (2x⁶ – 7)⁷

(2x⁶ – 7)⁷

h’ (x) = 7(2x⁶ – 7)⁶ × (12x⁵)

h’ (x) = 84x⁵ (2x⁶ – 7)⁶

Voorbeeld 3

Neem als voorbeeld de functie j(x) = (5k⁴ – 7)³

j(x) = (5k⁴ – 7)³

j’(x) = 3(5k⁴ – 7)² × (20k³)

j’(x) = 60k³(5k⁴ – 7)²

Voorbeeld 4

Neem als voorbeeld de functie 

k(x) = (4x³ – 2)^1/3

k’(x) = 1/3 (4x³ – 2)^-2/3 × (12x²)

Wat zijn veelgemaakte fouten bij de kettingregel?

Bij het toepassen van de kettingregel worden regelmatig fouten gemaakt. We bespreken hieronder enkele van deze veelvoorkomende fouten.

Veelgemaakte fout 1: niet herkennen of een functie al dan niet een kettingfunctie is

In het algemeen is de kettingregel de enige manier om een kettingfunctie te onderscheiden. Als er niet wordt ingezien dat de functie een kettingfunctie betreft, kan er ook niet op de juiste manier worden gedifferentieerd. Ook kun je niet goed differentiëren met de kettingregel als een functie geen kettingfunctie blijkt te zijn. Daarom moet je dus elke keer van tevoren goed bekijken of het een kettingfunctie of een andere functie (zoals een productfunctie) betreft.

Veelgemaakte fout 2: verkeerde binnenste en buitenste functie kiezen in een kettingfunctie

Ook al heb je ingezien dat de functie een kettingfunctie is, loop je de kans dat je de binnenste en buitenste functie niet goed inziet. Als je hier niet goed op let, kan dit wel eens leiden tot een verkeerde afgeleide. Een voorbeeld van zo’n samengestelde functie is cos²(x). Hier is de 'buitenste' functie f(x) = x² en de 'binnenste' functie g(x) = cos(x). De afgeleide hier zou dus zijn:

f(x) = cos²(x)

f’(x) = 2cos(x) × -sin(x)

f’(x) = -2sin(x)cos(x)

Veelgemaakte fout 3: vergeten te vermenigvuldigen met de afgeleide van de binnenste functie

Een veelgemaakte fout is dus dat alleen de 'buitenste' functie wordt meegenomen in het differentiëren, wat dan uiteindelijk resulteert in f’(g(x)), terwijl de juiste afgeleide f’(g(x))g’(x) is.

Video

Wil je nog meer uitleg over de kettingregel? Bekijk dan deze uitlegvideo van WiskundeAcademie: